起動するたびに日付が狂う。

起動するたびに、日付が1904年1月1日、1956年8月27日などになるのは、iMacの内蔵電池が切れています。交換しましょう。
電池が切れると電源が入らなくなることもあります。

交換方法は須山歯研の、iMac Rev.A〜Dの内蔵電池交換方法などに載っています。
電池はMaxell supre ER3S(1/2AA) 3.6Vの丸型リチウム電池です。
350円〜2,500円ぐらいで売られているようです。

松尾商会　Ｓｔｕｄｉｏ ＨＩＳＡ：Macな内蔵電池について（丸型編）にも詳しく載っています。
maxell ER3S、SAFT　LS14250C、TADIRAN TL2150、POWERPACT、センチュリー CBT36V、なども互換性があるようです。

Webでは、
・センチュリー　CBT36V [MAC用3.6V内蔵電池]：ヨドバシ・ドット・コム　￥1,130
・アップルコンピュータ・AppleComputer：742-0011：キットカットオンラインストア　￥1,260
・Macintosh用内蔵電池　3.6V リチウム（丸形）：PLUSYU楽天堂　￥980送料込
等でも買えます。

どうしてもないときは、カメラ用のCR2 (3V)という電池でも代用できます。